Fisica

Fisica18/02/2019Metodo ScientificoUnità del sistema internazionaleGrandezze fisiche e la loro misurazioneIncertezza di misuraGrandezze FondamentaliSistemi di Unità di MisuraSistema InternazionaleCifre significative e ArrotondamentiCinematicaLegge oraria del motoVelocità mediaVelocità istantaneaAccelerazioneAccelerazione Gravitazionale Integrale della velocitàEsercizio22/02/2019Esercizio: Doppio lancio vericaleGrandezze vettorialiVelocità istantanea in più dimensioniAccelerazione in più dimensioniMoto circolare uniforme25/02/2019esercizio palla di cannoneInzerziaPrimo principio di inerzia:Secondo principio di inerzia:Esperimenti carrelliEsercizio pallina da tennis01/03/2019Forza di gravitàForza PesoPiano inclinatoForza di attritoL'attrito statico Attrito dinamico04/03/2019Esercizio: Macchina che frena(senza ABS)Esempio della carrucolaLavoroEsempio: Lancio sasso in ariaCon Forza non costante:PotenzaPotenza istantaneaPotenza media08/03/2019Forza conservativaForza Non conservativaScelta origine del sistema di riferimentoEnergia PotenzialeEnergia CineticaBilancio energeticoVarie casisticheEnergia MeccanicaEsercizi:Lancio massa m in aria, a che altezza arriva?Per casa11/03/2019Moto armonicoEquazione differenziale armonicaForza ElasticaEsercizio: Calcolo molla con piccole contrazioniEsercizio: Ciclista12/03/2019Esercizio:Massa puntiforme che fa un cerchioEsercizio: Giro della morteEsercizio: TerraTermodinamicaEnergia internaGas Ideale22/03/2019PressioneCostante di BoltzmanEquazione di stato di gas perfettiEnergia interna media in un gas perfetto monoatomicoEquipartizione dell'energia cineticaEsercizio moliEsercizioPrincipi della termodinamicaEsempio dei pistoniCalore25/03/2019Esercizio pistoneEsercizio ruota biciclettaScatola con gas dentroCalorePrimo principio della termodinamicaConduzioneConvezioneIrraggiamentoSistema IsolatoEsempio sistema isolatoTrasformazioniTrasformazione isocoraTrasformazione adiabaticaTrasformazione isotermicaCapacità termicaCalore specificoEsperimento di JouleEsempio pozzangheraCalore latenteStati della materiaPer casa29/03/2019Esercizio01/04/2019Centro di massaEsempio Sole TerraEsempio raggio soleUtili da sapere per esameEsempio su AereoLa quantità di moto si conservaEsperimento barraUrto perfettamente anaelasticoEsperienza di Joule (Espansione Libera)05/04/201908/04/2019Calore Specifico in base al processoRelazione di MayerGrafici p V Cicli TermodinamiciCliclo termico/Macchina termicaCiclo frigorifero/Macchina frigoriferaCalore ceduto e calore assorbitoLavoro subito e lavoro effettuatoRendimento di una macchina termicaReversibilità di una trasformazioneCiclo di Carnot12/04/2019Rappresentazione macchina termicaRappresentazione macchina frigoriferaSecondo principio della termodinamica Dimostrazione per assurdoTeorema di Carnot15/04/2019EntropiaEsercizio di esempioIn un sistema isolatoElettromagnetismoParagone interessante19/04/2019AutoenergiaCarica di prova e campo elettrico29/04/2019Carica puntiformeEnergia elettrostatica delle caricheDensità lineareEsercizio idrogenoPassaggio al continuo (PAC)somma costanteEsperimento di RutherfordEsercizio anello03/05/2019Circuitazione FlussoAngolo solidoTeorema delle superfici di GaussEsempioEsercizio06/05/2019Esempio unoEsempio dueCampo elettrico di un piano indefinito di caricaConduttoriInduzioneInduzione CompletaCapacitàEsempio10/05/2019CorollariOsservazioni sulla capacitàConduttore cavoSchermatura e induzione completa(cavo dentro cavo)Protezione dagli sbalzi Condensatore pianoCondensatore sfericoCondensatore cilindrico13/05/2019Energia immagazzinata in un condensatoreEsercizioEsercizio generico123417/05/2019Corrente ElettricaEsercizioLegge della conservazione della caricaRegime stazionarioLegge di ohmAltro esercizioPotenza20/05/2019Resistenze in serie e in paralleloResistenza in serieResistenza in paralleloCampo non conservativo e forza elettromotriceResistenza internaConsiderazioniEsercizio per casaLeggi di KirchhoffLegge del nodoLegge alla magliaLegge ai capi del condensatore24/05/2019Esperienza di OrstedEsperienza di AmpereNomenclaturaTeorema di GaussUnità di misura alternativeForza di LorentzCaso del ciclotroneSeconda legge fondamentale di laplace21/05/2019Principio di equivalenza di amperePrima legge elementare di laplaceLegge di ampereCollegamento tra velocità della luce e elettromagnetismoLegge di ampere (circuitazione)30/05/2019EserciziDeformazione delle spireEsercizio più dimostrazione teorema lezione precedenteRecap

18/02/2019

Metodo Scientifico

Fenomeno di interesse e sua idealizzazione, ho grandezze fisiche per descriverlo (unità), osservazione e misura (incertezze), formulazione di ipotesi, passando dal modello alla legge fisica.

Attraverso quest'ultima (legge fisica) per descrivere e prevedere ed in caso falsificare l'ipotesi.


Unità del sistema internazionale

Grandezze fisiche e la loro misurazione

Incertezza di misura

Grandezze Fondamentali

Sistemi di Unità di Misura

Sistema Internazionale

Cifre significative e Arrotondamenti


Cinematica

La cinematica è la descrizione del moto degli oggetti, rappresentati da punti materiali.

Punto materiale: Punto con delle proprietà fisiche, privandolo dell'estensione. Lecito quanto piccolo è l'oggetto.

(Più piccolo, più lecito).

Esempio:

Luna è un punto materiale con un rapporto 100 alla terra.

 

Legge oraria del moto

Scelgo un punto, un verso di percorrenza e creo il movimento del punto in UNA dimensione.

Un punto materiale non fa spazio ne ingombro.

Posso assumere una unità di misura nella retta orientata (tipo centimetri).

 

1550510794776

 

La legge oraria posso esprimerla con una tabella:

02
10
2-1
31
44

E disegno un GRAFICO:

1550510934763

 

 

Equazione oraria:

spazio in funzione del tempo.

La legge oraria può variare in base alla funzione che ho su

 

Esempi

s=

Nota bene che:

NON posso rimuovere la costante A, mentre posso rimuovere la costante B(se ad esempio la B vale 1), ma è consigliato tenerla in ogni caso. Senza A non posso dire di che cosa si tratta, di lunghezza, di tempo etc etc, quindi A deve essere DEFINITA ed avere una unità di misura.

Pulsazione: nella formula precedente la pulsazione è .

 

 

Velocità media

Velocità positiva1550510163049

Velocità negativa1550511250810

Equazione:

Ovviamente ha una unità di misura

Le parentesi quadre indicano una equazione dimensionale, stiamo considerando l'uguaglianza del punto di vista delle dimensioni.

 

Abbiamo ovviamente una unità di misura

può essere metri al secondo come altro(km/h...)

 

Nota che è una differenza, non dipende dal sistema che abbiamo utilizzato.

 

utilizzando il sistema di riferimento di prima (tabella), abbiamo:

 

Coefficente Angolare: Nel grafico ho

 

 

Nota bene che il grafico con tempo, non può avere valori che "tornano indietro nel tempo".

 

Velocità istantanea

 

Velocità nel tempo che dipende dall'istante .

anche detta

Rapporto incrementale, quindi è la derivata nel grafico spazio tempo.

Esempi:

 

Essendo t Tempo, A sarà spazio tempo perchè mi fornisce un uguaglianza = spazio, quindi deve dare spazio. Quindi A sarà la Velocità.

 

In questo caso A è Spazio.

 

Avendo la legge oraria della velocità, posso ottenere la legge oraria del moto integrando

 

1550511395367

quindi

Avendo una velocità costante ottengo

 

Accelerazione

 

Variazione della velocità nel tempo o Derivata della velocità nel tempo

Protip: Controllo di avere consistenza dimensionale

 

Accelerazione Gravitazionale

 

L'accelerazione gravitazionale è pari a

1550511703222

Punti estremanti: Punti di massimo e di minimo, punti nei quali l'accelerazione vale ZERO, cioè la velocità è costante.

 

 

Integrale della velocità

 

 

Nota che:

Integrando accelerazione, ottengo la velocità.

Integrando ancora , ottengo lo spazio.

Derivando lo spazio, ottengo la velocità.

Derivando ancora ottengo l'accelerazione.

1550511505456

Protip:

l'accelerazione gravitazionale è diversa in base a dove mi trovo nella terra, ma di poco, quindi la assumo come definita prima.

Esercizio

Protip: Io posso piazzare il mio asse delle , cioè s(t) come mi pare e piace, quindi posso ottenere una negativa, per avere una accelerazione positiva.

Un tipo tira un sasso in aria

DATI:

 

dove g è ovviamente l'accelerazione gravitazionale.



22/02/2019

Ricordiamo che l'accelerazione è un differenziale della velocità

tornando all'esercizio precedente, otteniamo

 

Ora nel punto in cui la velocità è zero:

1550830324261

Continuando:

1550830593170

Esercizio: Doppio lancio vericale

Vengono lanciati due sassi

DATI:

Arbitrario

Si incontrano per ?

Se aspetto che il primo sasso vada a terra, no.

1550831035270

Come possiamo vedere, la possibilità che si incontrino è nell'intersezione delle due parabole.

  1. Primo Caso/Modo:

    se ho che lo lancio dopo il landing dell'altro.

  2. Secondo Caso/Modo: ottengo

    Ottengo dunque che

    arrivando a

 

Grandezze vettoriali

 

Ci sono diversi tipi di assi

  1. Cartesiano Le ASSONOMETRIE – educazionetecnica.dantect.it

  2. Cilindrico Cylindrical coordinate system - Wikipedia

  3. Polare

    Triple integral change of variable examples - Math Insight

 

 

Formule (le quali non ho idea a cosa si riferiscano)

 

 

 

 

Velocità istantanea in più dimensioni

Al cambio di dimensioni posso avere valori in più.

La velocità, in ogni caso, è sempre tangenziale alla direzione.

Accelerazione in più dimensioni

Prima avevo solo una variazione di velocità, qui invece ci dice che l'accelerazione c'è se la velocità in un certo istante è diversa dalla velocità in un altro istante. Ciò non implica che i vue valori siano diversi. In matematichese:

Possiamo avere

  1. Moto rettilineo uniforme (MRV)
  2. Moto rettilineo uniforme vario (MRVA)
  3. Moto non rettilineo uniforme (MNRV)
  4. Moto non rettilineo non uniforme (MNRNV)

1550832890549

1550832978953

Moto circolare uniforme

Ha velocità costante, con traiettoria circonferenza.

per trovare le coordinate.

 

Perchè R=s_phi.... ? boh(dubbio)

 

Ogni punto della velocità è tangente alla circonferenza(incerto)

 

La velocità è il prodotto della velocità angolare per il raggio.

Velocità:

è la pulsazione, cioè la velocità angolare.

L'accelerazione:

L'accelerazione è diretta verso il centro, cioè accelerazione centripeta.

Accelerazione centripeta in un moto non circolare = accelerazione normale.

È normale moto, perpendicolare.

Moto circolare uniforme

Nota che:

Se non ho una circonferenza, posso dire che l'accelerazione ORTOGONALE ci porta ad avere un'accelerazione centripeta verso una ipotetica circonferenza per la nostra curva:

https://proxy.duckduckgo.com/iu/?u=http%3A%2F%2Fwww2.unipr.it%2F~basgio93%2F2004%2FXI%2Findex_files%2Fimage055.jpg&f=1

 

 

 

Quindi ottengo che

con le accelerazioni

Nota bene:

dove = è costante, quindi la derivata di una costante è zero.

 

25/02/2019

Velocità angolare:

 

esercizio palla di cannone

Calcolo della traiettoria di un oggetto sparato con un cannone.

 

Il cannone è posizionato su .

ottenendo

Sottolineo che ho sostituito

 

 

La componente perpendicolare cambia la direzione del moto.

Nota

Non posso dopo un po' continuare a derivare perchè ottengo

derivando rimarrebbe solo .

 

Inzerzia

Primo principio di inerzia:

Un corpo rimane in moto rettilineo uniforme fino a quando una forza esterna ne cambia e ferma la quiete del moto.

Sistema di riferimento inerziale: Sistema di sistemi di riferimento tra i quali, per passare tra di essi attraverso una velocità costante.

Molto importante: Se sono sopra un oggetto movente non posso affermare se si sta muovendo, perchè mi sto muovendo con esso.

Secondo principio di inerzia:

Esperimenti carrelli

IMMAGINE che non trovo

avendo due carrelli che si tirano tra loro con una molla di mezzo cosa succede?

Beh se i carrelli sono uguali, ho i

altrimenti, se carrello 2 è 2 volte la massa del carrello 1 ottengo

idem se vale 3 ottengo

da qui otteniamo che

Sull'es di prima ottengo

 

Forza è la variazione della quantità di moto per l'unità di tempo.

La forza è l'interazione.

per l'esercizio di prima, con con stessa massa di abbiamo

dove

 

OTTENENDO

Noi sappiamo che

 

quindi abbiamo la seconda legge della termodinamica

cioè

LA MAGGIOR PARTE DELLE VOLTE SI PUÒ IGNORARE PERCHÈ È NULLO, vale se abbiamo tipo un razzo mandato nello spazio.

Unità di misura: NEWTON =km/h

per calcolare la

forza media dobbiamo avere l'impulso.

Impulso:

 

Avendo poi

Forza media:

 

Esercizio pallina da tennis

Ho una pallina da tennis, la tiro contro il muro che succede?

di pallina

otteniamo

è sbagliato!

 

Non ho un vettore dall'altra parte! devo mettere

ottenendo

 

il professore dovrà fornirmi in quanto tempo si stretcha. ()

 

Principio di sovrapposizione:

Gli effetti delle forze sono equivalenti alla sovrapposizione degli effetti delle forze (somma)

 

 

 

in ordine di forza crescente:

  1. Forza di gravità
  2. Forza debole
  3. Forza elettromagnetica
  4. Forza Forte


01/03/2019

Forza di gravità

1551434665292

La massa descrive quanto intensamente sento la gravità.

Forza che 1 esercita su 2:

 

dove G è la costante di gravitazione universale

La massa è influenzata dalla massa e viceversa.

La gravità si propaga alla velocità della luce, ma non è istantanea, però per noi abbiamo velocità infinita.

Nota sulla elettricità:

dove

 

Forza Peso

Forza con la quale descrivo il fenomeno della caduta dei gravi sulla superfice terrestre.

Ho un palazzo alto 100 metri, butto un sasso.

dove è la massa della terra, è la massa del sasso.()

Teorema della forza centrale: Posso assumere che la massa sia concentrata al centro dell'oggetto, poichè le forze applicate vanno al centro.

ora so che

con

quindi

So che

perchè è dell'ordine di

 

 

La gravità della luna è un sesto della gravità della terra

la massa è collegata in qualche modo a ciò?

NO.

 

 

Piano inclinato

1551436719109

 

da questo ottengo

 

Se aggiungo una fune

1551437365748

ottengo che ho una forza che sommata a è

quindi ottengo

 

 

Importante:

 

Con la forza centripeta, posso immaginarmi come una fune che è collegata al centro della circonferenza.

Dunque il carico di rottura sale quadraticamente:

otteniamo che

Terza legge di Keplero

dove questa è costante.

 

Forza di attrito

Forza di reazione vincolare.

L'attrito statico

dipende da quanto l'oggetto "preme". Ovviamente dipende dalla forza peso, che è uguale e opposta a . Quindi uso N

Nota bene che:

Questo esiste sempre. è il coefficente di attrito statico.

 

Attrito dinamico

 

Disco rotante:

Velocità , ho la corona inglese sopra, forza di attrito qual è il massimo a cui posso far girare prima che se ne vada?

04/03/2019

spiegazione disco rotante che ho perso

 

Esercizio: Macchina che frena(senza ABS)

Ho una macchina che frena

tempo frenata

spazio frenata

dove e

ottengo:

 

Concludendo

la posso calcolare integrando

ottenendo

Esempio della carrucola

 

1551865138841

 

Ho due carrucole, attaccate ad una ruota.

Supponendo che la corda non si estende:

  1. Si muovono a velocità uguali;
  2. Le variazioni di velocità sono uguali.

Posso dunque supporre che

Otteniamo:

Osservo che

Se le due masse sono uguali, non si muovono! l'accelerazione è nulla!

Se una delle due forze è zero otteniamo "g", quindi ottengo cioè uno dei due cade.

 

Lavoro

Ad una massa, tipo un treno che va per dei binari:

  1. Applico forza parallela concorde, posso affermare che sono avvantaggiato dal moto;
  2. Applico forza parallela discorde(che ha il senso opposto). Posso affermare che sono svantaggiato dal moto.
  3. Forza perpendicolare (applicata ad esempio in "giù") non sono avvantaggiato ne svantaggiato dal moto.

Voglio dunque ottenere una forza che dipende da:

  1. Per quanto tempo la applico;
  2. Come la applico(1,2,3)

Lavoro: Prodotto scalare forza con spostamento.

cioè

Con unità di misura pari a

La formula di prima VALE SOLO SE UNIFORME SU

Esempio: Lancio sasso in aria

Lancio in aria

 

 

cioè la gravità oppone.

Il sasso torna giù

 

ottengo

cioè la gravità aiuta.

Caso dove il sasso viene lanciato+ il sasso torna giù

quindi zero.

 

Caso dove fa dei giri strani

1551874321218

In questo caso

perchè ho

 

ottengo che alla fine, sommandoli è .

Questo ci fa capire che la formula rimane la stessa!

 

Con Forza non costante:

Cosa succede se la forza non è costante?

1551875002361

dunque questo grafico, con curva che chiameremo AB

Quindi la vera definizione di lavoro è:

Lavoro:

Potenza

Potenza istantanea

Lavoro che compie nel tempo:

Potenza media

Totale del lavoro nell'intervallo di tempo:



08/03/2019

Forza conservativa

Cioè

Teorema: non dipende dal percorso

Dimostrazione:

Ho due semimetà e

Forza Non conservativa

Una forza non conservativa è la forza di attrito.

Esempio:

Ho un oggetto sul quale ho una forza esercitata

per andare da A a B quanto lavoro applica la forza d'attrito?

Otteniamo che questa formula è

ci permette di dire che dove mi significa qualcosa che va da un punto, fa un percorso non nullo e torna dove era.

 

Scelta origine del sistema di riferimento

1552040339087

Ho un asse cartesiano.

che è uguale a

Ma allora facendo così ottengo che

Il valore di è arbitrario, dipende dalla posizione di O, mentre le differenze di sono non arbitrarie cioè non dipendono da , posso avere un'origine qualsiasi.

 

Energia Potenziale

dove

Energia Potenziale:

tutto questo è possibile solo perchè il non è arbitrario.

mentre l'energia potenziale è definita a meno di costante arbitraria.

Energia Cinetica

caso speciale=

Per fare questa cosa ho dovuto fare un trick brutalmente poco matematico: passare il sotto al

Ottengo dunque che energia cinetica

Energia Cinetica:

Bilancio energetico

Avendo

con

dove ho che è forza conservativa

mentre n.c. è forza non conservativa.

ottengo che

Ottenendo il Teorema generale del bilanciamento energetico

Alla fine gli integrali li devo usare solo con forze non conservative.

Varie casistiche

  1. Caso: Non ho forze non conservative

    Quindi abbiamo

    è energia meccanica!

  2. Ci sono forze non conservative

Energia Meccanica

Esercizi:

Lancio massa m in aria, a che altezza arriva?

1552043047804

dall'insieme di queste due otteniamo

 

cosechenonhofattointempoaricopiare

Poichè le energie sono lineari, alla metà del grafico ho esattamente un'uguaglianza tra

1552043660158

Per casa

Problema del pendolo semplice: FIlo di lunghezza , viene lasciato il pendolo.

  1. Analisi delle forze

  2. scegliere (Sistema di coordinate a piacere)



11/03/2019

Moto armonico

Problema del pendolo: soluzione

1552471296488

 

Dove è la lunghezza del filo.

Derivando in ottengo

riderivo in

nota bene che

Ora per aiutarmi disegno un triangolo

1552472698664

noto che formo due angoli coniugati interni!

Dunque ora, mettendo e

Proseguendo:

Ora divido per e sposto tutto a sinistra

Ricordando le serie di taylor mcLaureen

Continiuamo con

ora moltiplico la seconda equazione per e ottengo

Effettuo una somma della prima equazione con la seconda ottenendo:

ma questa è una differenziale!

Equazione differenziale armonica

con

dove a è la pulsazione al quadrato del moto armonico. Ottengo la

Pulsazione:

Come soluzioni abbiamo

 

nell'esempio di prima otteniamo

Ora trovo A e B:

quindi la soluzone è .

Da questo esercizio possiamo capire come la pulsazione fosse

La maggior parte delle volte della equazione precedente sarà uguale a qualcosa tipo

Abbiamo inoltre ottenuto che il moto armonico è periodico.

Avendo che

Periodo:

Tempo tra due riproposizioni nello stesso atto di moto, cioè stesso spazio con la stessa velocità.

più pulsazioni ho più il periodo è corto.

Da notare che nell'esercizio del pendolo precedente non ho considerato l'attrito, quindi ho continue oscillazioni. Cioè il pendolo non si ferma.

Isocronia delle piccole oscillazioni: Per angoli piccoli, maggiore spostamento non significa maggiore periodo.

Forza Elastica

Forza di richiamo(o Elastica):

Esercizio: Calcolo molla con piccole contrazioni

Ottengo

che è l'equazione armonica!

quindi ora ottengo la pulsazione

Periodo

Il meno è presente perchè vado da a zero.

Noto che questo integrale è

Esercizio: Ciclista

Un ciclista va a 25 km/h

La potenza che produce è

Attrito (Calcola l'attrito che colpisce il ciclista)

Qui ho dovuto fare un trick poco matematico, spostando il sotto il

Sappiamo che

Abbiamo dunque che

cioè è come se spingesse circa



12/03/2019

Esercizio:Massa puntiforme che fa un cerchio

1552471296488

L'asse entra nella lavagna.

1552643396358

La velocità angolare è troppo bassa per permettere all'oggetto di muoversi, quindi non ho un

Per far arrivare a zero, avendo ed che sono costanti, posso solo lavorare con . Quindi per far si che sia zero, devo applicare il limite qui sopra con omega che va ad infinito.

 

Esercizio: Giro della morte

nonleggoidatiallalavagna

Esercizio: Terra

Ho la terra, con un raggio , una forza gravitazionale e è l'angolo che voglio calcolare per capire qual è il punto di distacco (e opzionalmente il punto di landing.)

 

 

Termodinamica

Atomi: Costituenti minimi della materia che conosciamo, sistemi aggregati composti da un nucleo e sistemi orbitali(elettroni) che gravitano attorno questo nucleo.

Gli atomi sono a carica neutra, quindi se gli elettroni hanno carica negativa, i protoni la hanno positiva e contraria agli elettroni(somma =0).

Raggio nucleo è dell'ordine alla

atomo=

molecole=

Nucleo= Composto di nucleoni

Elettroni: non riusciamo a calcolarne il raggio, troppo piccolo.

Costante di avogadro:

Quanti atomi ho?

MOLE: Quantità di sostanza che contiene esattamente un numero di avogadro di componenti. misuratasi in .

quantità di sostanza contenuta in grammi dell'elemento, dove è il peso atomico.

Esempio: Avendo un Idrogeno, ho una A=1, cioè una mole di è la quantità di quanta sostanza in 1g di H

mentre

Avendo un Carbonio, ho una A=12, cioè una mole di è la quantità di quanta sostanza in 12g di C

Avendo , ho una cioè di è la quantità di sostanza in 18g di

Stati della materia:

Energia interna

In un sistema gassoso, le molecole sono in costante movimento, avendo energia cinetica. Grazie a questa presenza di l'energia cinetica possiamo dire che il sistema ha una energia interna

Gas Ideale

Un gas che ha :

è definito gas ideale.

Q:Cosa succede quando una particella tocca la parte del contenitore?

A: Rimbalza

Il rimbalzo è calcolabile : = iniziale; =finale.

Ma con il rimbalzo, non perdo energia? No perchè è perfettamente elastico quindi non ho una perdita di energia, mentre in una pallina elastica ho una componente NON elastica che assorbe.

Q: Quante particelle ho in una zona gassosa che urtano il contenitore?

A:

numero di urti nel tempo

Attenzione, questo vuol dire la quantità di urti in un determinato istante di tempo!

Quindi è uguale al numero di particelle nel volume.

tutto ciò che ho dentro a quel contenitore sta urtando la parete in velocità .

Se il gas è perfetto ed ideale, le particelle che urtano sono .

dove è la densità di volumica().

Quindi otteniamo che

è il numero di urti che ho.

In , ottengo che il numero di urti nella quantità di tempo è .

Avendo tutte la stessa velocità abbiamo che tutte andranno ad urtare la parete allo stesso momento, quindi ottengo la formula qui sopra.

Tutte urtano l'oggetto perchè il nostro è un esperimento deterministico, muovendosi orizzontalmente, tutte che partono dalla stessa linea toccano allo stesso momento.

Se ho particelle molto veloci, avrò più urti nel tempo.

Q:Ognuna di queste particelle, che impulso trasferisce alla parete?

A:

dove l'ultima parte equivale a

Ora noto che ho

Osservo che: Per ognuna delle pareti che considero, devo considerare tutte le particelle che hanno il rispettivo ma che vanno nella direzione giusta(con il segno giusto).

Osservo che: Posso considerare la velocità globale della particella, non ho la e . Da devo passare a .

Osservo che: è il valor medio delle v, cioè ammetto che ho delle variazioni.

Quindi passo da attraverso il valor medio di cioè

Ottengo che

Poichè ho scelto io il sistema di riferimento:

Ottenendo la formula della pressione:

Quindi la pressione P nel nostro volume V è

dove è energia cinetica media.



22/03/2019

Pressione

dove F è forza e S è superf. misurata in cioè Pascal

Quindi la definizione è

Sotto ad un determinato valore, le variazioni di superficie sono nulle.

Abbiamo che:

In millimetri di mercurio

Facendo un po' di esperimenti ottieniamo che

questo vale solo per gas molto rarefatti e poco reagenti(gas ideali) con T misurata in Kelvin.

Se misurata in C o F non vale.

dove è indipendente dal gas considerato e è il numero di moli, la quantità di gas.

Ricordando che

Esempio:

Ho 13 moli di azoto liquido, a quanti atomi ho?

Che sia liquido o meno poco ci interessa.

dove è il numero di avogadro e è il numero di moli.

otteniamo

dove è la costante di boltzman.

Costante di Boltzman

ottenendo che

Equazione di stato di gas perfetti

Noto che la prima equazione la ottengo sperimentalmente mentre la seconda la ottengo misurando.

ora noto che e

Il singolo componente del mio gas ha tre gradi di libertà in questo caso.

Ora ottengo che

Energia interna media in un gas perfetto monoatomico

con

Equipartizione dell'energia cinetica

dove è il numero di gradi di libertà.

Vediamo dunque che dipende solo da temperatura e dal numero di gradi di libertà.

Esercizio moli

Trasformazione isobarica

Calcolando

ed me lo calcolo.

Esercizio

1553252748837

Noto che la temperatura minimia possibile non dipende dal gas.

Adatto una scala diversa, spostando la dove ho lo zero assoluto

Zero assoluto: Zero kelvin sotto il quale non ha più senso parlare di termodinamica.

celsius

1553253061397

Principi della termodinamica

Ho un ambiente che chiamo universo e un sistema con un energia interna . Come avviene lo scambio di energia?

Ricordiamo che quando si scalda, aumenta l'energia interna.

Posso avere degli scambi di:

  1. Lavoro:

    1. Ordinato;
    2. Coerente;
    3. Organizzato.
  2. Calore

    1. Disordinato;
    2. Incoerente;
    3. Disorganizzato.
Esempio dei pistoni

Ho un pistone, con dentro un gas, ha una forza esterna che spinge dentro e fuori il pistone.

Man mano che spingo, la pressione sarà maggiore, quindi la forza da applicare è maggiore. Questo aspetto lo trascuriamo, la forza applicata è sempre la stessa.

Posso assumere che il lavoro esterno si tramuti tutto in variazione di energia interna:

cioè

Questo funziona perchè non ho altri scambi di energia di questo gas con l'esterno.

Calore

Se metto un oggetto al sole si "scalda". Ma non ho lavoro, perchè non ho spostamento.

Quindo ho un trasferimento di energia senza lavoro. Questo è chiamato CALORE.



25/03/2019

Esercizio pistone

1553768816547

La forza esterna va sempre pensata come la forza che comprime/tenta di comprimere il gas. Il volume si espande per un , lentamente, la forza esterna prova a contrastarlo.

Il lavoro esterno, per questo motivo, sarà dunque negativo.

Assumiamo sempre che le due forze siano uguali e opposte

Ottengo che

La variazione dell'energia interna è uguale al lavoro COMPIUTO dal sistema!

cioè più generale

Convenzionalmente diciamo che:

Ricordiamo che è qualcosachenonhocapito della temperatura.

I componenti sono molecole.

Quando definisco devo avere il grado di disordine.

Esercizio ruota bicicletta

Tubolare

Ho un uomo con

  1. Calcolare il volume del tubo
  2. Calcolare pressione all'interno quando l'uomo sale
  3. Assumo che per gonfiare la ruota ho fatto 100 colpi di pompa dove, ad ogni colpo, mette , a che temperatura ho la ruota quando sale?
  4. Calcolare il lavoro per gonfiare la gomma.

Scatola con gas dentro

Ho una scatola con gas dentro

Se aspetto abbastanza ho un trasferimento di energià tra e tale che

Dove è la variazione di temperatura provocata dalle radiazioni.

Ho un trasferimento di energia senza lavoro meccanico.

Calore

Calore:

Variazione di energia senza lavoro meccanico.

con:

Ricordiamo che noi trattiamo sistemi in equilibrio, quindi il contenitore e il gas all'interno raggiungono la stessa temperatura (aspettando abbastanza).

Primo principio della termodinamica

Variazione di energia interna= Calore - Lavoro

Conduzione

1553776317730

Atomi che "vibrano", percepibile da tutti gli atomi vicini. Aumentando la vibrazione avrò un aumento della vibrazione indotta.

Per conduzione: Sposto energia con calore.

La sua vibrazione è l'energia media, crea un'onda di calore.

La vibrazione viene trasmessa agli atomi vicini in modo "ammortizzato", cioè più debole, che a loro volta trasmetteranno ai loro vicini in modo più debole ancora, fino a quando sarà impercettibile. Questa vibrazione è il calore.

Convezione

Ho un fluido, con una zona del fluido più calda, spostandolo ad una zona più fredda il calore si "dissipa".

Per esempio: in un sistema di raffreddamento a liquido, il liquido passa da freddo a caldo perchè viene fatto passare in zone dove il motore ha bisogno di rilasciare calore. Il calore viene passato al liquido, che viene fatto circolare fino a raggiungere una zona aperta all'ambiente, nel quale disperde il calore che aveva ottenuto tornando freddo.

Irraggiamento

A colpire il mio sistema è la radiazione elettromagnetica, cioè energia pura.

L'energia non viene "riflessa", viene assorbita facendo in modo che l'oggetto vibri e si scaldi.

Riflessione: Un fotone entra, l'atomo si eccita e si diseccita subito, rispedendo lo stesso fotone(dove in realtà è vierso ma potente uguale).

Curiosità: Un corpo nero ha temperatura costante().

Sistema Isolato

Sistema che non scambia calore, ne lavoro con il sistema esterno.

Il sistema è definito chiuso se ho inoltre una assenza di scambio di materia.

Esempio sistema isolato

Ho un sistema isolato con un pendolo dentro.

Se torno dopo anni avendo dato una spinta al pendolo e ho del gas dentro, il pendolo sarà fermo(attrito). avendo come energia interna iniziale e energia interna finale:

ma quindi otteniamo che

abbiamo che perchè visto che il pendolo è fermo a fine esperimento.

Otteniamo dunque:

Ottengo delle osservazioni importanti:

  1. finale del gas è la iniziale del pendolo la finale del gas.
  2. del pendolo iniziale è dunque .
  3. Se vario la temperatura il pendolo non si muove, perchè il gas si scalda in modo disordinato, non solo da un lato.
  4. Il disordine è presente.

Trasformazioni

Trasformazione isocora

(volume non varia, non ho un lavoro che ci agisce)

Trasformazione adiabatica

(calore non varia)

Trasformazione isotermica

con (temperatura non cambia)

Capacità termica

Avendo un gas

Capacità termica

Quindi La capacità termica è il variare del calore in relazione alla variazione di temperatura ( )

Come unità di misura ha

Un buon piumino ha una alta capacità termica, mentre un fondo di pentola ha una bassa capacità termica.

Affermiamo anche che

Più massa Maggiore capacità termica.

Calore specifico

Di due tipi:

  1. Calore specifico (per quantità di massa)

    Unità di misura

  2. Calore specifico (Molare)

    Unità di misura

Esperimento di Joule

Risultati immagini per esperimento di joule

(1 principio termodinamica)

Devo applicare un lavoro

Otteniamo dunque il valore di una kilocaloria (Kcal)che

liquido

Ricordiamo che

Esempio pozzanghera

Ho una pozzangera quadrata con uno strato di nylon sopra(ininfluente, serve solo per evitare l'evaporazione)

sappiamo che

La pozzanghera è lunga e larga e profonda

(Non ho variazioni di volume, trasformazione isocora)

Quale sarà la temperatura finale della pozzanghera se il sole apparisse istantaneamente(e non lentamente) per 8 ore?

cioè il calore immesso dal sole per irraggiamento nel tempo.

è importante ricordare che devo considerare la superficie, anche se vedremo che sarà ininfluente.

Ora abbiamo dunque

è dunque aumentata di 500 gradi kelvin .

Questo avviene perchè non ho considerato il calore latente.

Calore latente

= Calore latente.

Si misura in .

è un calore che si verifica quando abbiamo una coesistenza tra vapore e liquido, una coesistenza di due stati.

Stati della materia

SOLIDO LIQUIDO VAPORE

 

dove sta per Solido Liquido.

dove sta perLiquido Vapore.

Per casa

  1. Ripetere esercizio precedente(della pozzanghera ) rimuovendo lo strato di nylon.

  2. Ho di ghiaccio a

    1. Disegnare il grafico Temperatura/Calore (Temperatura asse , Calore asse )
    2. Disegnare il grafico Temperatura/ tempo (Temperatura asse , tempo asse )

    Aggiungendo che .



29/03/2019

Ho un sistema e due corpi:

(c è la capacità termica)

Quando i due corpi sono a contatto ho uno scambio di calore.

perchè il calore che scambia con l'esterno è zero!

Per la definizione di calore specifico,

Sommandoli, ottengo

In generale

Vuoto: Non ho molecole.

Esercizio

traduciamo i dati in una forma utilizzabile

sommandoli

 

Il resto è un tentativo di uno studente.

Trovo il calore dell'acqua dopo che il ghiaccio si è sciolto

01/04/2019

ottenendo

Quindi otteniamo che

Se niente perturba il moto del sistema, la quantità di moto totale si conserva.\

In altre parole

Noto che e non sono necessariamente uguali(non necessariamente stesso numero), vale anche per e (non necessariamente stesso corpo).

Centro di massa

Punto che meglio approssima l'equilibrio del sistema.

In una dimensione, tolgo semplicemente i vettori.

Esempio Sole Terra

1554667622045

Ho il Sole, che indicheremo con e terra che indicheremo con

cioè la distanza tra la terra e il sole.

Calcolo :

Dove

ottenendo

Esempio raggio sole

Avendo il raggio della terra

quanto sarà il raggio del sole?

Lo ottengo.

Il sole è circa di inclinazione rispetto alla terra, cioè , ()

Raggio del sole.

Utili da sapere per esame

Se (molto piccolo) allora vale

Praticamente limiti che tendono a zero.

Esempio su Aereo

Ho un aereo privato

1554842775676

Definiamo come la differenza tra le due frecce.

Posso affermare che la lunghezza nella prossima immagine sarebbe equivalente se non fosse per che si oppone al nostro "aereo".

1554843129553

Ora avendo che varia tra e

ottengo

dove e

Ma noto che tutto ciò è energia cinetica

Ottenendo

Cioè che possiamo** cambiare il sistema di riferimento senza variare il risultato**(anche se l'energia cinetica varia!)

La quantità di moto si conserva

Ora derivo in base al tempo

cioè

Ottengo

, cioè la quantità di moto si conserva nell'urto!

Esperimento barra

ho una barra, con due masse sopra all'estremità. La barra è su un materiale che non ha attrito.

1554885663490 Immaginiamo che la barra "scorra" verso una direzione, facendo impattare le due masse.

ottengo che

Se due masse impattano, non avendo forze esterne, il centro di massa rimane nello stesso punto. In questo caso, il centro di massa rimane a metà della barra.

Concludendo

Urto perfettamente anaelastico

Definisco urto perfettamente anaelastico quando due masse, in un urto si "attaccano".

Esercizio Avendo un pendolo balistico

Più in specifico

Ho un proiettile sparato verso un sacco di sabbia. Si comporterà come un pendolo.

1554890396954

Il movimento sarà

1554889980205

Il sacco essenzo fermo all'inizio abbiamo

ottengo

dove è la lunghezza del cavo.

Utilizzando la formula di bisezione

Ottengo dunque

Esperienza di Joule (Espansione Libera)

Ho un contenitore:

1554907417280

Otteniamo che il gas si espande (espansione libera) e non fa ne subisce lavoro! Non ho scambio di calore con l'esterno!

L'energia interna del sistema non cambia per il primo principio della termodinamica.

Dove è stato ottenuto sperimentalmente.

A Volume costante(isocora):

con calore specifico;

ottengo

Vale sempre.

La temperatura del gas non cambia! Quindi:

dipende solo da .

05/04/2019

Sospensione lezioni per prove intermedie

08/04/2019

Calore Specifico in base al processo

Abbiamo un grafico che descrive andamento di 3 gas.

1554992324463

perchè ho un gas ideale.

Il punto A è composto da

Il punto B è composto da

Il punto C è composto da

dove sono costanti.

Riprendo il calore specifico molare: ,

ho un calore specifico che dipende dal processo considerato:

Ciò significa che una espansione isoterma crea un differente di una espansione isocora.

( perchè isocora).

Quindi:

Uso perchè ho il volume costante.

Ottengo

.

Riprendendo:

ma posso affermare che

con temperatura finale e temperatura inziale.

 

dunque ottengo che con i gas ideali possiamo usare ciò.

è proporzionale a e non dipende dalle trasformazioni, vale sempre.

Relazione di Mayer

ho una isobara ( costante)

otteniamo

Differenziazione equazione di stato di gas perfetti:

Tornando a

( perchè la pressione è costante!)

cioè

Relazione di mayer:

Continuando abbiamo che

Per i diversi tipi di gas abbiamo:

  1. Gas Monoatomici
  2. Gas Biatomici
  3. Gas Poliatomici

Grafici p V

Ricordiamo che una adiabatica non ha scambio di calore con l'esterno.

Per il primo principio della termodinamica abbiamo che:

Ricapitolando:

ed una adiabatica come si comporta ?

Ora unisco con ottenendo(il primo sopra il secondo sotto frazione)

ho dunque ottenuto

cioè

ottengo

1554998647285

abbiamo dunque che

In tabella otteniamo

Tipo
Isocore
Isobare
Isoterme
Adiabatiche

Cicli Termodinamici

Un Ciclo Termodinamico avviene quando lo stato iniziale coincide con lo stato finale.

Possiamo anche dire che( per iniziale e per finale)

https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQfLoqby8SJ0k7ZvveZf5wfzfKl9VplSAXxNmVSPqhiTveFxc0B

In questo esempio abbiamo l'area sottostante di colore azzurro, mentre l'area sovrastante in colore giallo. Noi consideriamo come l'area sottesa della zona superiore, quindi area azzurra+area gialla.

Consideriamo come l'area sottesa alla parte inferiore, quindi l'area azzurrina.

Per determinare il segno di w, ho bisogno dei segni di e di . Per vedere se è compiuto o subito ho bisogno del verso di percorrenza.

Affermiamo che allora , senso orario.

1555013282548

allora , senso antiorario.

1555013321911

Un ciclo non compie lavoro quando ha una linea unica senza area all'interno.

1555014027517

Tutto il lavoro che fa la da come calore.

Cliclo termico/Macchina termica

Ciclo frigorifero/Macchina frigorifera

Calore ceduto e calore assorbito

Somma di tutti i calori assorbiti, quindi . Somma di tutti i calori ceduti, quindi .

Lavoro subito e lavoro effettuato

Somma di tutti i lavori effettuati, quindi . Somma di tutti i lavori subiti, quindi .

Ciò mi porta a

Rendimento di una macchina termica

Il lavoro/Calore assorbito e ciò vale per tutte le macchine termiche.

Reversibilità di una trasformazione

Una trasformazione è reversibile se, qualsiasi sia il dettaglio, vedo una serie di stati di equilibrio. Uno stato di equilibrio di esempio, per un gas ideale: per ogni punto.

Ciclo di Carnot

1555015836193 perchè orario.

Avendo il seguente ciclo possiamo affermare che:

Sperimentalmente notiamo che

12/04/2019

Ho due sorgenti a temperature e

Potrei connetterle con delle isocore, ma non lo faccio perchè avrei scambio di calore. Voglio che ci sia scambio di calore nullo, quindi utilizzo delle adiabatiche per collegare le due sorgenti.

Immagino di avere un pistone, rappresentato come punto che deve arrivare ad uno stato

1555059157081

Ho che

Nel passo abbiamo calore ceduto dalla sorgente

Nel passo abbiamo lavoro compiuto.

Nel passo abbiamo calore ceduto alla sorgente

Nel passo abbiamo lavoro subito.

Abbiamo che

(questo è così perchè )

è associabile a mentre è associabile a

è associabile a mentre è associabile a

Mi calcolo il rendimento con un po' di calcoli noto che i due logaritmi sono uguali. Quindi

dove abbiamo che l'inefficienza

Di conseguenza abbiamo un'altra importante equazione

Rappresentazione macchina termica

Con La macchina Termica reversibile.

Il segno quindi lavoro ceduto, negativo.

Risultati immagini per macchina termica

Rappresentazione macchina frigorifera

Con La macchina Frigorifera reversibile.

Il segno quindi lavoro ottenuto, positivo.

img

Coefficente di prestazione di macchina frigorifera(COP):

Secondo principio della termodinamica

Formulazione di Clausius:Non posso avere un processo il cui unico risultato sia trasferire calore da temperatura T ad una temperatura più calda di T.

Formulazione di Kelvin-Plank è impossibile realizzare un processo il cui unico risultato sia trasformare il calore in lavoro.

Le due formulazioni sono equivalenti. Questo principio è legato allo stesso concetto del tempo.

Dimostrazione per assurdo

Ho macchina generico e reversibile.

Ottengo una nuova macchina

Il calore che assorbo da una, è il calore che cedo dall'altra Suppongo che questa macchina

Ma allora sto trasferimendo calore da una sorgente più fredda ad una più calda! Viola il secondo principio nella formulazione di Clausius! per assurdo è falsa.

Quindi in teoria l'opposto è

Teorema di Carnot

dove Il minore vale se la macchina è irreversibile, () L'uguale vale se la macchina è reversibile. () (importante tenere le temperature in KELVIN)

Corollario 1 Tutte le macchine reversibili hanno lo stesso rendimento se lavorano tra le stesse temperature.

Corollario 2 Tutte le macchine irreversibili hanno un rendimento inferiore a .

è Importante ricordare che un rendimento può essere solo .

15/04/2019

Ricordando il teorema di carnot dalla volta precedente abbiamo che

e ricordiamo che

Effettuando delle operazioni algebriche ottienamo:

Ora sostituisco con

Cioè ho spostato i segni sui calori stessi.

Ottenendo

cioè

Teorema di clausius

Questo integrale viene chiamato integrale di clausius

Dove è la seguente area

1555579142503 dove i due cicli non devono essere necessariamente uguali. (Li ho resi uguali per semplicità nel copia incolla grafico) quindi

Se è reversibile

Cioè

Se il ciclo è Reversibile, l'integrale di clausius è nullo.

Proseguendo con l'integrale di prima, scompongo:

Ottengo che

L'integrale non dipende dal percorso!

Quindi potrei avere un percorso che va da a totalmente diverso da quello che da va ad , il risultato non cambierebbe.

img ora ottengo dove è l'entropia

Entropia

Entropia è una funzione di stato che :

entropia

Facciamo finta di avere un ciclo irreversibile per colpa di

1555616410243 Ottengo che cioè

Dunque

reale irreversibile.

Ottengo dunque che

dove

Ottengo infine che

 

Esercizio di esempio

Avendo due sorgenti di calore

(calcolare l'entropia dell'universo)

Uso la formula di Fourier:

Attenzione: S sta per superficie, non entropia.

 


Tornando alla formula precedente , scritta con i diffferenziali

ricordando che per l'irreversibilità.


Quindi, sull'es di prima, l'entropia dell'universo è definita con queste tre equazioni

con perchè la sorgente assorbe.

 

ottenendo

In un sistema isolato

Suppongo di avere un sistema isolato, cioè che non ho scambio di calore

Quindi

Un sistema isolato:

  1. Se procede per trasformazioni reversibili allora l'entropia non varia;
  2. Se procede per trasformazioni irreversibili allora l'entropia aumenta.

L'entropia, microscopicamente è compatibile con il numero di stati macroscopici(?)

dove numero di stati possibili

Quindi l'entropia in questo caso

Tende ad evolvere in stati macroscopici compatibili con stati microscopici, cioè ho più disordine.

Fornendo una definizione più precisa di disordine:

Disordine: Possibilità di scelta.

Ci basta pensare ad una stanza con dei libri impilati uno sopra all'altro al centro della stanza. Successivamente avremo che i libri (usandoli) verranno spostati nei vari punti della stanza, creando disordine dallo stato iniziale i quali erano posizionati.

Elettromagnetismo

Forza di Coulomb:

Dove è una costante definita come

avendo

costante dielettrica del vuoto =

Paragone interessante

Forza di Newton Forza di Coulomb Sono molto simili!

Domande che sorgono:

19/04/2019

parte esercizio mancante

Sapendo che è Termicamente isolato ()

Tornando all'elettromagnetismo

Cariche puntiformi

L'inclinazione a muoversi la da la massa, non la carica. Ci manca la massa.

Supponiamo che i due punti siano fissati.

Principio di sovrapposizione: Le forze elettriche sono indipendenti dall'ambiente circostante.

 

1556519535293

Come è possibile che siano entrambi nonostante la differenza tra le due cariche? per la distanza.

Ridisegnando l'angolo, faccio la regola del parallelogramma tra e ottengo

Calcoliamo il lavoro!

1556519568713

che è uguale a

Ricordiamo che per il lavoro conta solo lo spostamento parallelo al raggio. Posso immaginarmi di spostare lo spostamento parallelo su un asse.

1556519594130

 

Quindi alla fine l'integrale conta, indipendentemente dal "percorso" della funzione, tra e ! cioè

Conta solo lo stato iniziale e lo stato finale.

Otteniamo che la forza elettrica è una forza conservativa.

con p per punto (puntiforme)

avendo sorgente puntiforme e carica puntiforme.

è una costante. Facendo le differenze poi si semplifica.

Autoenergia

Una carica può interagire con se stessa? in quel caso il raggio sarebbe zero! il che sarebbe un problema! Boh.

Carica di prova e campo elettrico

Il campo elettrico ha un corrispettivo fisico. Un vettore associato a un punto nello spazio. Posso avere un punto a caso e poter disegnare il campo elettrico!

1556543372227

Campo elettrico: Funzione matematica calcolabile in qualsiasi punto dello spazio, associando a questo punto un valore(vettore, tensore, scalare etc...) Se il campo è vettoriale lo descrive un vettore.

Se scalare lo descrive un numero.(ad esempio la temperatura!)

Posso ottenerlo senza descrivere necessariamente le sue sorgenti.

con i differenziali

29/04/2019

Con unità di misura

(*) L'integrale lungo la curva posso farlo calcolando l'integrale agli estremi ( non è una cosa immediata)

dove

cioè differenza di potenziale

Carica puntiforme

In una carica puntiforme

Questa costante vale zero!

Energia elettrostatica delle cariche

Avendo quattro punti

Risultati immagini per Energia elettrostatica delle cariche

Il contributo di verso è

Quindi otteniamo che è arbitrario come prendo i punti()

Lo posso dunque scrivere come energia elettrostatica delle cariche

(l'un mezzo è li presente perchè va a formare una matrice simmetrica.)

Densità lineare

Ho un filo

densità lineare di carica (definizione differenziale, infinitesimale, ha senso in un punto dove il tratto di filo è approssimabile con una retta/segmento)

con

Ho una superficie

densità superficiale di carica dove è la mia superficie con cariche.

con

Avendo un volume(tre dimensioni)

densità volumica di carica dove è il mio volume con cariche.

con

Esercizio idrogeno

Calcolo idrogeno

Ricordo che un protone è una sfera

calcolo

Ma come fa la densità ad essere negativa? la carica può essere negativa, quindi la densità di carica può essere negativa!

Ora provo a "spalmare" la carica su tutta la superficie

raggio nucleo

Passaggio al continuo (PAC)

Ho un campo elettrico formato da una serie di cariche

somma costante

!

Esperimento di Rutherford

Degli studenti sparano delle cariche su una lamina in oro

dove è MegaElettronVolt

cioè il numero atomico dell'oro

Si sono accorti che possono succedere diverse cose

la particella può passare tra gli atomi dell'oro

più mi avvicino ad un nucleo senza toccarlo più viene deviato

quando lo "colpisco" non lo tocco in realtà, perchè il campo che c'è respinge la nostra particella spedita!

File:Scatteringrutherford.jpg

Inizialmente

perchè sono molto distante(quindi per le grandezze minuscole che prendiamo, con una distanza di un metro è pressochè infinita.)

Finale abbiamo

perchè l'energia cinetica alla fine è zero

Energia cinetica iniziale

con

Considerazioni:

più alta è l'energia e più posso sondare distanze.

più è alto un numero atomico e meno ci avviciniamo!

Se continuo ad aumentare l'energia, il bersaglio si rompe prima di toccarlo!

Esercizio anello

Ho un anello di carica, spedisco una particella tra l'anello

1556550153039

con

Considerazioni finali:

Se mi allontano tanto vedo una carica puntiforme, quindi la tratto come tale!

se

se

03/05/2019

Abbiamo un gradiente

Che cosa è un gradiente?

con è il gradiente, composto da derivate parziali(?)

Dove ho le derivate parziali:

Da queste tre ho:

Circuitazione

Circuitazione:

dove , ma possiamo togliere la carica perchè costante, ottenendo:

che viene più semplicemente scritto come

Tutti i campi conservativi hanno circuitazione zero.

Coinvolgo un integrale chiuso su un dominio chiuso ma è lineare, unidimensionale!

Flusso

Immagino di avere un campo, vettoriale, che è la velocità delle particelle in un fluido.

Immagino di avere un flusso laminare controllato e che possa analizzare il vettore velocità( il campo è composto da un insieme di vettori velocità!).

Avendo un "setaccio" con il quale passiamo il nostro flusso, se è abbastanza piccolo, posso avere una ottima approssimazione di una superficie piana.

Oltretutto ho un vettore normale che non è necessariamente perpendicolare al nostro.

Otteniamo la definizione di flusso:

Quantità matematica di un campo vettoriale

Allargando la superficie il flusso aumenta.

Il segno del flusso è arbitrario in base al vettore normale.

disegno coso superfice

con scrivibile come

diventando

Prendiamo la superficie ortogonale al vettore che stiamo valutando()

Angolo solido

Angolo portato alle tre dimensioni

Avendo un arco di circonferenza, portato ad un cilindro abbiamo

cioè

ottenendo

Teorema delle superfici di Gauss

1556876898769

cioè

Si basa sulla definizione di interno ed esterno.

Vale ciò solamente sulle superfici chiuse .

Osservazioni:

  1. Il teorema non parla della superficie, posso prendere qualsiasi tipo!
  2. Non devo specificare il raggio della sfera! (il Flusso rimane lo stesso)
  3. Il teorema non dipende dalla posizione della carica.
  4. I campi sono sommabili, se avessi più cariche prendo la somma delle singole cariche!

Il flusso del campo elettrico dipende solo dall'angolo solido!

Esempio

1556876869456

I singoli contributi non saranno zero, il campo non è zero sulla superficie!

Esercizio

Quanto vale il campo elettrico in funzione della posizione?

1556877786492

Noto che il problema è puramente radiale.

Prendo un punto P a caso, sarà a distanza

otteniamo con il teorema di gauss

La fisica mi dice che

La matematica mi dice che

ed ottengo

Ma è uguale alla carica puntiforme! Però questo non vale in un caso generico. Infatti se assumo di avere una circonferenza dentro , abbiamo tutte le cariche all'esterno. Quindi la nostra A avrà . In specifico:

1556878157912

La fisica mi dice che

La matematica mi dice che

ed ottengo

1556878506142

06/05/2019

Esempio uno

1557151157410

Come varia il campo elettrico al variare della superficie?

ho e

Ho che

come sappiamo il campo elettrico che è in un punto è la somma dei campi che esercitano in quel punto.

ottengo la circuitazione

Li cancello perchè sono infinitesimali!

ottengo

cioè il campo elettrico non varia, è conservativo

Esempio due

Abbiamo un cilindro

1557152249037

 

Posso rimuovere anche qui perchè è infinitesimale.

Ottengo dunque che

Campo elettrico varia di

Unendo questi due otteniamo

con

correzione esercizio per casa che mi sono perso

Campo elettrico di un piano indefinito di carica

Come fa il campo elettrico nello spazio?


Q: Posso assumere di avere distanza infinita ?

A: quindi ogni punto sarebbe uguale all'altro se avessi distanza infinita.


Avendo una piana di carica positiva, il campo elettrico infinito sarà così

1557153093108

Dato che il piano è infinito, non si ha una dipendenza dalla distazna, infatti

come

Conduttori

Conduttore: Materiale sul quale un certo tipo di elettrone può muoversi liberamente.

  1. Se un conduttore è neutro la somma delle cariche fa zero.
  2. Se ho un conduttore all'equilibrio allora ho le cariche ferme
  3. Se le cariche sono ferme, nessuna di loro subisce forze, di nessun tipo, nemmeno elettriche.

Se ho o meno le cariche all'interno non mi interessa perchè influiscono solo quelle esterne.

Induzione

Se ho una barra conduttore, dentro è zero e tutte le cariche sono negative all'esterno. Se una carica si depositasse all'interno, dovrebbe agire in base al campo elettrico sul bordo.

Se ho una penna bic, la carico sfregandola su una maglietta, non essendo conduttore (plastica) si piazzano tutte all'esterno!

Appena lo avvicino alla mia barra conduttore induco un moto di cariche.

L'induzione è dunque l'indurre un moto di cariche tra qualcosa a qualcos'altro.

Le cariche negative vanno al contrario della freccia che creiamo

Induzione Completa

Supponiamo di avere due conduttori

una sfera ed una sfera che la "abbraccia".

La sfera interna è carica positivamente, la sfera esterna si caricherà negativamente.

( Vedi immagine: condensatore sferico)

File:Spherical Capacitor.svg - Wikimedia Commons

Ho dunque un caso di induzione completa tra i conduttori, perchè TUTTE le linee di un conduttore vengono intercettate dall'altro. Tutte le linee di campo che escono da uno dei due conduttori viene intercettato dall'altro.

Se avvicinassi la sfera carica positivamente ad un conduttore, avrò un ammasso di cariche negative dalla parte più vicina alla sfera, perchè le linee di campo della sfera caricata positivamente.

Se avessi due linee di campo , una positiva ed una negativa, quella negativa intercetterebbe quasi tutte le linee di campo delle positive.

Questo perchè si annullano a vicenda.(vedi immagine: condensatore piano)

img

Non ci soffermiamo sugli effetti di bordo.

La superficie di un conduttore è equipotenziale cioè sempre costante.

Più carica verso e più il potenziale della sfera aumenta. Per il principio di sovrapposizione posso calcolare ogni punto di carica della sfera.

Capacità

un farad.

Un farad è grandissimo. Infatti si utilizza spesso pico/nano/femto/micro-Farad.

Se abbiamo un sistema in induzione completa, la capacità è data da due conduttori

Esempio

Due armature quadrate

Calcolare la carica delle armature.

(Si trovano in vuoto/aria).

Calcolo Q

ce lo fornisce il problema, calcolo

Ottenendo

Osservazioni:

  1. Un condensatore mi serve per portarmi in giro energia.
  2. Per caricarlo devo fare del lavoro, per colpa della differenza di potenziale.

10/05/2019

Corollari

all'interno

Posso immaginare che tutte le cariche siano appoggiate all'esterno.

Non è vero che dentro il campo è nullo, però stiamo guardando macroscopicamente.

 

la materia è vuota, abbiamo molta distanza(relativamente alla grandezza usata) tra nucleo ed elettroni

Corollario(del fatto che il campo è zero all'interno, macroscopicamente parlando)

  1. Il campo è zero perchè alla fine consideriamo statico.

    perchè mentre

  2. Le superfici dei conduttori sono equipotenziali:

    sempre perchè

  3. Ho più carica concentrata sui punti di curvatura minore che su un'area più vasta.(effetto punta)

    Tutta la carica va a distribuirsi nei carichi di curvatura minore perchè devono avere la stessa differenza di potenziale.

Vale solo se i punti sono interni

Osservazioni sulla capacità

1557479947331

Calcoliamo la capacità della sfera

Ottengo

  1. La capacità non dipende dalla carica che mettiamo
  2. Dipende dal corpo, dalla sua geometria(quanto è grande)
  3. DIpende dal materiale(dato da )

Conduttore cavo

immagino che il mio conduttore sia cavo

File:Emptycavity.png

 

Ho un campo elettrico, dalle cariche alle cariche , con la circuitazione del campo elettrico ( perchè il campo è conservativo)

Avendo due tratti, non nel campo, mentre nel campo.

Se sulla superficie interna di un conduttore ci fosse carica violerebbe la circuitazione! quindi anche se faccio una cavità non posso avere cariche nella cavità interna!

Schermatura e induzione completa(cavo dentro cavo)

1557480279547

perchè mentre

Ma ho un problema, perchè ho un campo dentro.

La carica si dispone in base alla curvatura.

Ma posso affermare che la carica negativa è nella parte interna del !

Ottengo una induzione completa!

Quindi ho un campo anche interno del conduttore cavo, se ho un altro conduttore dentro.

1557481081306

Qualsiasi cosa io faccia sul conduttore dentro, non è percepibile da fuori.

 

Q:Cosa succede se tolgo/metto carica all'esterno?

A: Niente.

Creo uno schermo elettromagnetico o gabbia di faraday

Non è possibile far penetrare informazioni dall'interno all'esterno.

Q:Cosa succede se sposto il tutto in una zona con una fortissima carica?

A: Viene variato solo il campo del conduttore esterno..

Non è possibile far penetrare informazioni dall'interno all'esterno.

Q:Cosa succede se li faccio toccare?

A: All'interno cambia il campo, all'esterno non succede niente.

Protezione dagli sbalzi

Immagino di avere un pezzo molto importante di un circuito. Se ho uno sbalzo di tensione, dovrei essere capace di proteggermi per evitare che si fulmini.

Ad esempio ho due chip collegati con differenza di potenziale rispettivamente e

il primo va da il secondo va da

Ma non è detto che lo veda alla stessa potenza, perchè lo zero del primo potrebbe essere un del secondo!

Collegando a massa("a terra"), cioè ad un conduttore comune, ho lo stesso zero per tutti.

Q: E se il conduttore che ci attacco è più grande?

A: la carica si sposta su quello più grande!

Q: E se il conduttore che ci attacco è la terra?

A: In quel caso la carica esterna sul mio primo conduttore è quasi nulla!

Questa è la famosa messa a terra, fa in modo che il riferimento di potenziale sia stabile e non cambia.

Q: Ma se la carica esterna va tutta sulla terra, la carica interna cosa fa?

A: niente. La carica interna è schermata da quella esterna.

Condensatore piano

Cresce al diminuire della distanza Dipende dal materiale

Condensatore sferico

cioè

Condensatore cilindrico

cioè

13/05/2019

Energia immagazzinata in un condensatore

Per muovere una carica all'interno di un campo elettrico

Ho un consensatore inizialmente scarico, un interruttore che sta tra il condensatore e la batteria.

1557756808463

La capacità del condensatore ricordiamo che è

Appena clicchiamo sull'interruttore, la prima carica si muove.

Quando parte il secondo elettrone, va ad agire in un sistema non più privo di cariche.

Essendocene già una, incontra un campo. Per spostare la seconda, devo effettuare del lavoro.

Per la terza ancora più lavoro della seconda.

Dobbiamo agire contro il campo elettrico formatosi.

Provo a calcolarmelo

Questa è la carica nel mio condensatore.

Ora taglio il cavo agli estremi del condensatore.

Il condensatore conterrà energia sotto forma di lavoro utilizzato per caricarlo.

Se ci aggiungo un led, il led si accende.

Sappiamo che volume

otteniamo, come risultato generale

Sottolineo:

In quel punto ho una densità di energia proporzionale al quadrato di

Abbiamo energia ovunque!

Questa energia è immagazzinata dallo spazio tempo. È ovunque. La luce e tutti i vari tipi, è energia, quindi anche le onde elettromagnetiche. Portano energia.

Solo per il fatto che ci sia luce, ho un campo elettrico, quindi ho energia.

Esercizio

Le cariche sono sulla superficie

questa è la quantità di energia che un protone immette nell'universo.

Osservazioni:

L'elettromagnetismo non funziona per le cariche puntiformi, avrei energia infinita su un punto!

La carica positiva e la carica negativa forniscono lo stesso contributo, avendo il quadrato.

Esercizio generico

1

Condensatore piano

condensatore collegato ad un generatore

Condensatore Isolato

2

Un condensatore piano è composto da due armature

All'interno del condensatore ho un materiale dielettrico con costante 2 che lo riempie completamente

Calcola .

è generale, nel nostro esempio con il materiale scelto:

con (definizione)

3

Sull'oggetto precedente, viene immagazzinata una carica

Calcolare e

 

mi calcolo so che lo ottengo da

quindi

Non dipende da .

Tornando a

Ho una distanza molto piccola, per quello ho così tanta energia!

ATTENZIONE A NON USARE LA FORMULA DEL PUNTIFORME, non vale qui.

quindi abbiamo

(non ho fatto in tempo a copiarla , ma basta applicare la definizione di )

4

Sull'es precedente, calcolare il campo

17/05/2019

Corrente Elettrica

Avendo il rame, il cui simbolo è , ha un portatore libero.

Ci calcoliamo la densità di elettroni di conduzione

dove è la densità di massa.

ricordiamo che il numero di avogadro è

Proseguiamo con i conti:

abbiamo dunque in un micron di rame un numero di elettroni pari a

abbiamo una temperatura. Usiamo boltzman

Ora proseguiamo

e

questo non è totalmente corretto, perchè bisognerebbe sconfinare nel quantistico, ottenendo

dove è energia di Fermi.

Notiamo che è sbagliato di un fattore 10, non troppo per i nostri specifici.

ricordiamo che velocità della luce

Abbiamo un moto browniano perchè continuano ad essere urtati, viaggiando ad un centesimo della velocità della luce.

Se ho un campo elettrico cosa succede?

Il loro movimento non è più determinato solo dall'urto, ma anche da un campo che ne devia la traiettoria.

A che velocità? calcoliamocela.

Intensità di corrente

avendo Ampere.

Corrente elettrica: Quantità di carica elettrica che attraversa una determinata superficie nell'unità di tempo.

Posso definire la corrente anche così:

dove è la velocità di drift.

Cioè il flusso di corrente che passa in quella superficie.

Qui possiamo definire anche se ho esempi non patologici(?)

Esercizio

Possiamo dire che

ottenendo la velocità di drift

confrontandola con la velocità di Fermi

(il conto è stato fatto con il rame)

confrontandolo con un autoscontro è come se ci fosse una macchina che si muove un nanometro al secondo. La cosa positiva è che ci sono tante macchine.

Legge della conservazione della carica

La corrente

Questo ci dice che tanto entra tanto esce.

Come in un tubo, se entra 1 litro di acqua e non ho ne perdite ne affluenti (cioè variazioni), avrò in uscita lo stesso litro di acqua.

Regime stazionario

cioè

allora vuol dire che

Legge di ohm

Avendo un protone e neutrone

otteniamo che

Legge di Ohm(definizione potenziale):

che mi porta a

dove integrando otteniamo

unendo queste due precedenti otteniamo

Resistenza elettrica: dove

infine

Legge di ohm(elettronica):

può anche essere scritto come

Altro esercizio

La resistenza sarà

Potenza

Potenza del singolo elettrone

Se voglio calcolarla per il volume/densità di elettroni

ma equivale anche

Ora

ottenendo

o equivalentemente con la legge di Ohm

Questa potenza viene dissipata in calore!(Effetto Joule)

20/05/2019

Resistenze in serie e in parallelo

Cosa succede se attacco una resistenza in serie a resistenza ?

Corrente elettrica

e se fossero in parallelo?

img

Resistenza in serie

sarà il delta calcolato su prima e dopo

sarà il delta calcolato su prima e dopo

Per la regola della conservazione della carica:

dove ottenendo

Quindi

Resistenza in parallelo

Uso la conservazione dei

questo perchè

Quindi

Campo non conservativo e forza elettromotrice

Ho un campo elettrico

dove è il generatore.

Avendo un circuito chiuso

con

Per le forze conservative, la circuitazione valeva zero. Ma abbiamo detto che (per la circuitazione)

Beh possiamo dire che questo campo non è un campo conservativo.

In dettaglio, provando sul campo elettrostatico

dove ext generatore

int generatore

 

Possiamo dunque definire non conservativo

cioè

Definiamo dunque f.e.m.: Forza elettromotrice ( volt)

con

Resistenza interna

cioè resistenza interna.

Se ho una resistenza interna, dissipa calore! Un buon generatore ha resistenza interna bassa.

Considerazioni

Sapendo

abbiamo che

perchè all'esterno vale zero.

Questi due integrali sono rispettivamente

e

Ricordiamo che

quindi

e sappiamo che

uniti assieme

Se non ci fosse resistenza interna non possiamo avere corrente! Ce ne possiamo dimenticare quando è piccola

Concludo che

Dove è quello che mi vendono, mentre è quello che abbiamo perchè dobbiamo considerare anche la resistenza interna

Esercizio per casa

1558364289644

Calcolare

Leggi di Kirchhoff

Legge del nodo

Leggi e principi fondamentali

Ho un nodo, con correnti che possono sia entrare che uscire.

NB: per un nodo servono almeno 3 conduttori

La somma di tutte le correnti deve essere zero

Legge alla maglia

1558364953762

è una maglia anche se non incontra la differenza di potenziale

Una maglia è un percorso/cammino che passa su un numero di nodi e archi senza ripassare tra essi, tornando all'inizio.

La somma algebrica delle differenze di potenziale che si incontrano percorrendo una maglia sono uguali a zero.

Il voltaggio totale di una maglia è la somma di tutte le differenze di potenziale nella stessa maglia.(?)

Quando non incontro alcun generatore è .

Legge ai capi del condensatore

1558365701894

La differenza di potenziale ai capi del condensatore+resistenza è uguale ai capi della batteria.

Otteniamo che il tempo tipico di carico/scarico condensatore è pari a

La corrente che passa si carica nel condensatore e si scarica nel tempo.

 

24/05/2019

Avendo dei magneti, sappiamo che

So che

esiste dunque una quantità che descrive l'interazione della materia ad accettare una forza di tipo magnetica.

noto che, se inizio a dividere il magnete in piccoli parti, avrò sempre due poli.

Aula di tecnica: ENERGIA ELETTRICA E MAGNETISMO

Non abbiamo ancora certezza dell'esistenza di un monopolo magnetico!

Esperienza di Orsted

Un ago magnetico, passando attorno ad un cavo con corrente passante, si muove.

Video

img

Esperienza di Ampere

Se due correnti vanno nello stesso verso, si attirano i due fili, mentre se vanno in senso opposto, si allontanano.

Esperienza di Ampere - LAB2GO-WIKI

Otteniamo che se abbiamo una carica nel movimento, abbiamo del magnetismo.

Nella materia magnetica, sta avvenendo un moto di carica, ho delle correnti amperiane molecolari che fanno da sorgente di campo magnetico e permettono all'oggetto di accoppiarsi ai campi magnetico.

Nomenclatura

Induzione magnetica (molti fisici lo chiamano campo magnetico anche se non è così.)

Campo magnetico

Teorema di Gauss

Visualmente, un magnete ha questo campo magnetico:

Magnet – Wikipedia

Avendo il flusso.

Se prendo una zona escludendo il magnete, noto che le linee di campo entranti, saranno sempre uscenti.

Quindi il flusso è zero(somma entranti e uscenti).

Se prendo una zona includendo il magnete, accade la stessa cosa! Tutte le linee di flusso sono sempre entranti/uscenti. Quindi ho sempre un flusso

Questo flusso vale zero indipendentemente dalla superficie in analisi.

Unità di misura alternative

Prendendo un dipolo magnetico(tipo asse terrestre, che non è dipolo al ma ci arriva)

Il campo magnetico è solenoidale.

Forza di Lorentz

Quando ho una che entra in un campo magnetico, la sua direzione viene deviata.

lorentz

La forza di lorentz viene data da

cioè prodotto vettoriale.

Uso la regola della mano destra.

img

Ricordiamo che questo prodotto non è commutativo.

La forza di lorentz è sempre ortogonale alla velocità? Sì. Per la definizione.

Questo ci porta

Lavoro della forza di lorentz

derviandola nel tempo

varrà .

La forza di lorentz non compie lavoro.

Caso del ciclotrone

Sappiamo che la forza è costante e sempre perpendicolare alla traiettoria

Moto circolare uniforme!

Riprendendo la formula del MCU

ottengo

detto raggio del ciclotrone.

Il periodo di ciclotrone è

La frequenza è .

Una curvatura della particella non dipende dalla velocità? strano. Ma vediamo che il raggio è dipendente dalla velocità, quindi lo è indirettamente.

per casa:calcolare la frequenza di ciclotrone in una particella di elio.

Seconda legge fondamentale di laplace

La forza di lorentz vale sul singolo. Sul filo?

ottenendo

 

21/05/2019

Principio di equivalenza di ampere

Avendo una spira, con la quale gira corrente ed un magnete

1558965331427

è dettato da come scorre

Quando un magnete interagisce con il campo magnetico di fondo, sono due campi magnetici che interagiscono tra loro.

è il campo magnetico generato dal magnete.

Si vede facendo la regola della mano destra, ma il campo magnetico si avvolge attorno.

Avendo un magnete tra due cavi con corrente passante entrambi nello stesso senso, ho una situazione di equilibrio quando il magnete è parallelo, solo che in un modo sarà stabile, in quello opposto instabile.

1558965868886

Avremmo una situazione che va da a , quindi mettiamo un davanti alla per cambiare.

Definiamo l'energia potenziale magnetica con

ora

Se ho un campo magnetico , con un magnete posizionato sul campo magnetico, il magnete vibra.

1558966490823

Prima legge elementare di laplace

Ora otteniamo la prima legge elementare di laplace

img

dove

con

La prima legge di laplace è solo uno strumento matematico, non esiste dB.

Legge di ampere

continuando

con questo posso calcolare il campo magnetico al centro di una spira con un magnete

La legge di ampere si applica in un circuito finito

Collegamento tra velocità della luce e elettromagnetismo

con

continuando

se è ?

e $\overrightarrow{E}={1\over 4\pi \epsilon_0}{q\over r^2}\hat{u]_r$

unendo queste due ottengo

ma se faccio un po' di calcoli

ora noto che

noto che

che è la velocità della luce!

quindi possiamo concludere che

dove è la velocità della luce.

Legge di ampere (circuitazione)

Avendo un circuito chiuso

ricordiamo che

e

avendo un filo indefinito su cui passa corrente , il campo gli gira attorno (regola della mano destra).

Più mi allontano più è debole il campo.

sarà sempre parallelo a

Ho ottenuto un valore non dipendente dal raggio della circonferenza! è generico.

1558969621929

 
(teorema gauss campo elettrico)(solenoidalità campo linee sempre chiuse )
(conservatività campo elettrico) (teorema di ampere)

30/05/2019

Esercizi

Deformazione delle spire

1559201308943

(riferente al verde)

Otteniamo che la spira deformata è

Devo dunque compiere lavoro per passare da una situazione bianca ad una situazione verde.

Esercizio più dimostrazione teorema lezione precedente

1559203906470

(il cerchio è una linea di campo)

Il vettore risultato avrà la stessa direzione, perchè abbiamo i vettori paralleli.()

Il filo, essendo infinito, mi rende possibile avere lo stesso punto per tutta la passante per il punto di partenza di (?)

con

ora trigonometricamente

perchè {R\over s}=\tan(\pi-\theta)$

Attraverso calcoli(che non ho copiato perchè stavo facendo il disegno con il legnosissimo geogebra) ottengo che

proseguendo con

ottenendo

Recap

  1. Principio di inerzia

  2. newton(con formula solita)

  3. forze conservative:

  4. isobare/isocore/isotermiche/adiabatiche con

  5. exp. Joule

  6. Cicli

    1. Teorici
    2. Frigoriferi
    3. ()
  7. 2 principio della termodinamica

    1. kelvin
    2. clausus
  8. principio di sovrapposizione(?)

  9. conservativo ()

  10. conduttori

  11. schermo elettrostatico, messa a terra

  12. continuità

  13. generatori,

  14. non conservativa

    1. Laplace
    2. Laplace $\Gamma(\overrightarrow{B})=\mu_0 i$